解題技巧
【鏈式推理②】構建篇：交替規則與狀態傳遞
在上一篇文章中，我們學習了鏈式推理的兩個基本構件：強鏈接和弱鏈接。本文將進一步探討如何將這些鏈接組合起來，構建完整的推理鏈，並從中得出有效的結論。
鏈的構建：強弱鏈接交替連接，形成完整的推理路徑
鏈的基本結構
鏈是由候選數節點和鏈接構成的序列。每個節點代表一個候選數（某個格子中的某個數字），相鄰節點之間通過強鏈接或弱鏈接相連。
鏈的形式化表示：
A ═ B - C ═ D - E ═ F
其中：
• A, B, C, D, E, F 是候選數節點
• ═ 表示強鏈接
• - 表示弱鏈接
• 整條鏈描述了從A到F的邏輯推理路徑
A ═ B - C ═ D - E ═ F
其中：
• A, B, C, D, E, F 是候選數節點
• ═ 表示強鏈接
• - 表示弱鏈接
• 整條鏈描述了從A到F的邏輯推理路徑
候選數節點的表示
在鏈式推理中，我們通常用以下方式表示候選數節點：
- 位置+數字：如 R3C5(4) 表示"第3行第5列格子中的候選數4"
- 簡寫形式：如 r3c5=4 或 (3,5)4
每個節點代表一個斷言：該候選數為真（該格子填入該數字）或為假（該候選數被排除）。
鏈接的交替規則
構建有效鏈的核心規則是：強鏈接和弱鏈接交替出現。這個規則確保了邏輯推理的有效性。
為什麼需要交替？
如果連續使用兩個弱鏈接（真→假→？），第二個弱鏈接無法繼續傳遞。
只有交替使用，才能形成連續的推理鏈。
- 強鏈接：傳遞"假→真"，無法傳遞"真→真"
- 弱鏈接：傳遞"真→假"，無法傳遞"假→假"
如果連續使用兩個弱鏈接（真→假→？），第二個弱鏈接無法繼續傳遞。
只有交替使用，才能形成連續的推理鏈。
特殊情況：連續強鏈接
當多個強鏈接連續出現時（如 A ═ B ═ C ═ D），看起來似乎違反了交替規則，但實際上這是有效的。
原因：強鏈接的條件是"恰好一真一假"，而弱鏈接的條件是"至多一個為真"。由於"恰好一個"必然滿足"至多一個"，所以每個強鏈接同時也是弱鏈接。
解讀方式：
可以理解為：
因此在表示法上，連續的強鏈接並不是錯誤，而是中間的強鏈接隱含地承擔了弱鏈接的角色。
當多個強鏈接連續出現時（如 A ═ B ═ C ═ D），看起來似乎違反了交替規則，但實際上這是有效的。
原因：強鏈接的條件是"恰好一真一假"，而弱鏈接的條件是"至多一個為真"。由於"恰好一個"必然滿足"至多一個"，所以每個強鏈接同時也是弱鏈接。
解讀方式：
A ═ B ═ C ═ D可以理解為：
A ═ B - C ═ D（中間的強鏈接作為弱鏈接使用）因此在表示法上，連續的強鏈接並不是錯誤，而是中間的強鏈接隱含地承擔了弱鏈接的角色。
強弱鏈接交替規則：只有交替才能形成有效的推理鏈
有效鏈的模式
根據交替規則，有效的鏈必須是以下形式之一：
1
以強鏈接開始，以強鏈接結束：
鏈長為奇數條鏈接（強-弱-強-弱-強）
A ═ B - C ═ D - E ═ F鏈長為奇數條鏈接（強-弱-強-弱-強）
2
以弱鏈接開始，以弱鏈接結束：
鏈長為奇數條鏈接（弱-強-弱-強-弱）
A - B ═ C - D ═ E - F鏈長為奇數條鏈接（弱-強-弱-強-弱）
3
以強鏈接開始，以弱鏈接結束（或反之）：
鏈長為偶數條鏈接
A ═ B - C ═ D - E鏈長為偶數條鏈接
著色思想（Coloring）
著色是理解鏈式推理的一個強大思維工具。我們給鏈上的節點交替賦予兩種"顏色"，代表兩種可能的真假狀態。
著色規則：
- 給鏈的起點賦予顏色A（比如藍色）
- 通過強鏈接連接的下一個節點，賦予相反顏色B（比如綠色）
- 通過弱鏈接連接的下一個節點，賦予相同顏色
- 依次交替，直到鏈的終點
著色思想：強鏈接翻轉顏色，弱鏈接保持顏色
著色的邏輯解釋
強
強鏈接翻轉顏色：
強鏈接兩端"恰好一真一假"。如果一端為假，另一端必為真；如果一端為真，另一端必為假。
因此強鏈接兩端的顏色相反，代表相反的真假狀態。
強鏈接兩端"恰好一真一假"。如果一端為假，另一端必為真；如果一端為真，另一端必為假。
因此強鏈接兩端的顏色相反，代表相反的真假狀態。
弱
弱鏈接保持顏色：
弱鏈接兩端"至多一真"。如果假設一端為真（顏色A=真），另一端必為假。
但如果一端為假，另一端狀態不確定。因此在著色時，我們關注的是"如果前一個節點為真"的情況，所以弱鏈接後的節點與前一節點的"真假假設"相同。
（注：這裡的"保持顏色"是指在追蹤"真"狀態傳遞時的行為）
弱鏈接兩端"至多一真"。如果假設一端為真（顏色A=真），另一端必為假。
但如果一端為假，另一端狀態不確定。因此在著色時，我們關注的是"如果前一個節點為真"的情況，所以弱鏈接後的節點與前一節點的"真假假設"相同。
（注：這裡的"保持顏色"是指在追蹤"真"狀態傳遞時的行為）
著色的核心含義：
同色節點：要麼全真，要麼全假
異色節點：真假狀態相反
通過著色，我們可以快速判斷鏈上任意兩個節點之間的真假關係。
同色節點：要麼全真，要麼全假
異色節點：真假狀態相反
通過著色，我們可以快速判斷鏈上任意兩個節點之間的真假關係。
狀態傳遞的兩種視角
理解鏈式推理有兩種互補的視角：追蹤"真"狀態和追蹤"假"狀態。
視角一：追蹤"真"狀態的傳遞
假設鏈的起點為真，觀察這個"真"狀態如何沿著鏈傳遞：
A ═ B - C ═ D - E ═ F
假設 A = 真
→ A-B是強鏈接，A真時B可真可假，狀態不確定
（追蹤"真"在純強鏈接上無法有效傳遞）
假設 A = 真
→ A-B是強鏈接，A真時B可真可假，狀態不確定
（追蹤"真"在純強鏈接上無法有效傳遞）
A - B ═ C - D ═ E - F
假設 A = 真
→ A-B是弱鏈接，A真 → B必假
→ B-C是強鏈接，B假 → C必真
→ C-D是弱鏈接，C真 → D必假
→ D-E是強鏈接，D假 → E必真
→ E-F是弱鏈接，E真 → F必假
結論：A真 → F假
假設 A = 真
→ A-B是弱鏈接，A真 → B必假
→ B-C是強鏈接，B假 → C必真
→ C-D是弱鏈接，C真 → D必假
→ D-E是強鏈接，D假 → E必真
→ E-F是弱鏈接，E真 → F必假
結論：A真 → F假
視角二：追蹤"假"狀態的傳遞
假設鏈的起點為假，觀察這個"假"狀態如何沿著鏈傳遞：
A ═ B - C ═ D - E ═ F
假設 A = 假
→ A-B是強鏈接，A假 → B必真
→ B-C是弱鏈接，B真 → C必假
→ C-D是強鏈接，C假 → D必真
→ D-E是弱鏈接，D真 → E必假
→ E-F是強鏈接，E假 → F必真
結論：A假 → F真
假設 A = 假
→ A-B是強鏈接，A假 → B必真
→ B-C是弱鏈接，B真 → C必假
→ C-D是強鏈接，C假 → D必真
→ D-E是弱鏈接，D真 → E必假
→ E-F是強鏈接，E假 → F必真
結論：A假 → F真
關鍵觀察：
對於以強鏈接開始和結束的鏈：
• 起點假 → 終點真（通過追蹤"假"狀態）
• 起點和終點顏色相反
對於以弱鏈接開始和結束的鏈：
• 起點真 → 終點假（通過追蹤"真"狀態）
• 起點和終點顏色相同
對於以強鏈接開始和結束的鏈：
• 起點假 → 終點真（通過追蹤"假"狀態）
• 起點和終點顏色相反
對於以弱鏈接開始和結束的鏈：
• 起點真 → 終點假（通過追蹤"真"狀態）
• 起點和終點顏色相同
從鏈得出結論
構建了有效的鏈之後，我們如何從中得出可以用於排除的結論呢？這取決於鏈的結構和兩端的關係。
結論類型一：兩端存在弱鏈接關係
1
場景：鏈的兩端A和F恰好能互相"看到"（存在弱鏈接）
鏈：A ═ B - C ═ D - E ═ F，且A和F同行/列/宮或同格
分析：
• 如果A假 → F真（鏈的傳遞）
• 如果A真 → F假（A和F的弱鏈接）
結論：無論A真假，A和F中必有一個為真（A假則F真，A真則A本身為真）。
應用：能同時看到A和F的其他同數字候選數可以被排除！
鏈：A ═ B - C ═ D - E ═ F，且A和F同行/列/宮或同格
分析：
• 如果A假 → F真（鏈的傳遞）
• 如果A真 → F假（A和F的弱鏈接）
結論：無論A真假，A和F中必有一個為真（A假則F真，A真則A本身為真）。
應用：能同時看到A和F的其他同數字候選數可以被排除！
結論類型二：兩端是同一候選數
2
場景：鏈的兩端恰好是同一格子的同一候選數（形成環）
鏈：A ═ B - C ═ D - E ═ A（回到起點）
分析：
• 如果A假 → ... → A真（矛盾！）
結論：A不能為假，所以A必為真。
鏈：A ═ B - C ═ D - E ═ A（回到起點）
分析：
• 如果A假 → ... → A真（矛盾！）
結論：A不能為假，所以A必為真。
結論類型三：著色衝突
3
場景：鏈上兩個同色節點之間存在弱鏈接（它們能互相看到）
分析：
• 同色意味著它們的真假狀態相同
• 弱鏈接意味著它們不能同時為真
結論：這兩個節點必須同時為假。所有同色節點都為假，所有異色節點都為真。
分析：
• 同色意味著它們的真假狀態相同
• 弱鏈接意味著它們不能同時為真
結論：這兩個節點必須同時為假。所有同色節點都為假，所有異色節點都為真。
從鏈得出結論的三種主要方式
交替推理鏈（AIC）
交替推理鏈（Alternating Inference Chain，簡稱AIC）是鏈式推理的標準形式。它的特點是：
- 強鏈接和弱鏈接嚴格交替
- 以強鏈接開始，以強鏈接結束
- 鏈的兩端存在弱鏈接關係
AIC的標準形式：
其中A和Z之間存在弱鏈接（能互相看到）。
結論：A和Z中必有一個為真，因此能同時看到A和Z的其他候選數可以被排除。
A ═ B - C ═ D - ... - Y ═ Z其中A和Z之間存在弱鏈接（能互相看到）。
結論：A和Z中必有一個為真，因此能同時看到A和Z的其他候選數可以被排除。
AIC是一個強大的框架，許多具體的技巧都可以被視為特殊形式的AIC：
- X-Wing、Swordfish：可以用AIC描述
- Skyscraper：一種簡單的AIC
- XY-Wing：三節點的AIC
- XY-Chain：純雙值格組成的AIC
構建鏈的實踐技巧
在實際解題中，構建有效的鏈需要一些技巧和經驗：
1
從雙值格開始：
雙值格既提供強鏈接（格內兩數），又容易發現弱鏈接（同單元其他同數候選）。它們是構建鏈的理想起點。
雙值格既提供強鏈接（格內兩數），又容易發現弱鏈接（同單元其他同數候選）。它們是構建鏈的理想起點。
2
尋找共軛對：
在行、列、宮中尋找只出現兩次的數字，它們形成的共軛對是強鏈接的重要來源。
在行、列、宮中尋找只出現兩次的數字，它們形成的共軛對是強鏈接的重要來源。
3
注意鏈接類型的判斷：
同一對候選數之間可能同時存在強鏈接和弱鏈接（如雙值格或共軛對）。在構建鏈時，要清楚使用的是哪種鏈接。
同一對候選數之間可能同時存在強鏈接和弱鏈接（如雙值格或共軛對）。在構建鏈時，要清楚使用的是哪種鏈接。
4
目標導向：
如果想排除某個候選數X，嘗試構建一條鏈，使得鏈的兩端都能"看到"X。
如果想排除某個候選數X，嘗試構建一條鏈，使得鏈的兩端都能"看到"X。
常見錯誤：
- 連續使用兩個弱鏈接（無法傳遞狀態）
- 將弱鏈接誤判為強鏈接（導致錯誤結論）
- 忘記驗證鏈兩端的關係（無法得出結論）
下一步
本文介紹了如何構建鏈以及從鏈得出結論的方法。在下一篇文章中，我們將討論：
- 鏈的各種應用模式（開鏈、閉鏈、環）
- 常見鏈式技巧的統一理解
- 分組鏈接與複雜鏈結構
- 不連續環與高級推理