解題技巧
【鏈式推理③】應用篇：模式分類與進階結構
在前兩篇文章中，我們學習了強弱鏈接的概念和鏈的構建與傳遞規則。本文將系統介紹鏈式推理的各種應用模式，並展示如何用統一的鏈式框架理解各種具體技巧。
鏈式結構的分類體系：按形態、內容、複雜度三個維度分類
按形態分類：開鏈與閉鏈
根據鏈的首尾是否相連，可以將鏈分為開鏈和閉鏈（環）兩大類。
開鏈（Open Chain）
開鏈的特點：
- 鏈有明確的起點和終點
- 首尾不相連
- 結論基於首尾的關係
開鏈是最常見的鏈式結構。當鏈的兩端存在弱鏈接關係（能互相看到）時，可以進行候選數排除。
例
AIC開鏈：
如果A和F能互相看到（存在弱鏈接），則A和F中至少有一個為真，其他能同時看到A和F的同數候選可被排除。
A ═ B - C ═ D - E ═ F如果A和F能互相看到（存在弱鏈接），則A和F中至少有一個為真，其他能同時看到A和F的同數候選可被排除。
閉鏈/環（Closed Chain / Loop）
閉鏈的特點：
- 鏈的終點回到起點，形成閉環
- 可以直接確定某些候選數的真假
- 環的奇偶性決定結論類型
閉鏈根據其結構可以分為連續環（Nice Loop）和不連續環（Discontinuous Loop）。
連續
連續環：環中的鏈接嚴格交替，可以無限循環
環上所有節點可以被分成兩個顏色組，同色同真假，異色相反。
環上所有節點可以被分成兩個顏色組，同色同真假，異色相反。
不連續
不連續環：環中某個節點處出現連續的同類鏈接，跟蹤時會產生矛盾
矛盾點處的候選數可以被確定為真或為假。
矛盾點處的候選數可以被確定為真或為假。
按內容分類：單數鏈與雙值鏈
根據鏈中候選數的類型，可以將鏈分為單數鏈和雙值鏈。
單數鏈（Single-digit Chain）
鏈上所有節點都是同一個數字的候選數。鏈接來自於共軛對（同一單元內只有兩個位置有該數字）。
特點
- 只追蹤一個數字在不同位置的關係
- 強鏈接來自共軛對
- 弱鏈接來自同單元內的其他位置
- 代表技巧：X-Wing、Skyscraper、X-Chain
單數鏈：追蹤同一數字在不同位置的共軛對關係
雙值鏈（Bi-value Chain / XY-Chain）
鏈上所有節點都來自雙值格（只有兩個候選數的格子）。鏈接在不同數字間切換。
特點
- 所有節點都來自雙值格
- 格內兩個候選數形成強鏈接
- 相鄰格共享某候選數形成弱鏈接
- 代表技巧：XY-Wing、XY-Chain、Remote Pairs
XY-Chain的本質：
XY-Chain就是一條完全由雙值格組成的交替鏈。例如：
起點是3，終點是4，能同時看到起點和終點的3和4候選可被排除。
XY-Chain就是一條完全由雙值格組成的交替鏈。例如：
R1C1{3,5}(5) - R1C4{5,7}(7) - R3C4{7,9}(9) - R3C8{4,9}(4)起點是3，終點是4，能同時看到起點和終點的3和4候選可被排除。
混合鏈（Mixed Chain / AIC）
鏈中既包含單數鏈的節點，也包含雙值鏈的節點。這是最通用的鏈式結構。
特點
- 靈活組合不同來源的鏈接
- 可以在單數節點和雙值節點間自由切換
- 表達能力最強，能發現更多排除
- 代表技巧：AIC（Alternating Inference Chain）
分組鏈接（Grouped Links）
分組鏈接是將多個候選數視為一個整體參與鏈式推理。這極大地擴展了鏈式技巧的應用範圍。
分組的概念：
當某個數字在一個單元（行/列/宮）內的所有候選位置都集中在另一個單元的交集區域時，這些位置可以作為一個「組」來處理。
例如：宮1內的數字5只出現在第1行的三個位置，這三個位置可以作為一個組參與鏈。
當某個數字在一個單元（行/列/宮）內的所有候選位置都集中在另一個單元的交集區域時，這些位置可以作為一個「組」來處理。
例如：宮1內的數字5只出現在第1行的三個位置，這三個位置可以作為一個組參與鏈。
分組強鏈接
當一個組與另一個候選/組之間存在「恰好有一個為真」的關係時，它們之間存在分組強鏈接。
例
宮1內數字5只出現在R1C1、R1C2這兩個位置，形成組A。
第1行的其他位置（宮2和宮3）中數字5只出現在R1C8，作為單點B。
組A與B之間存在強鏈接：第1行必須有5，要麼在組A（宮1），要麼在B（R1C8）。
第1行的其他位置（宮2和宮3）中數字5只出現在R1C8，作為單點B。
組A與B之間存在強鏈接：第1行必須有5，要麼在組A（宮1），要麼在B（R1C8）。
分組弱鏈接
當一個組與另一個候選/組處於同一單元內時，它們之間存在分組弱鏈接。
分組鏈接：多個候選位置作為整體參與鏈式推理
不連續環（Discontinuous Loop）
不連續環是閉鏈的一種特殊情況，在某個節點處出現了「不連續」——即該節點的兩條相鄰鏈接類型相同（都是強鏈接或都是弱鏈接）。
不連續環的類型：
- 類型1（連續兩個強）：不連續點處的候選數必為假
- 類型2（連續兩個弱）：不連續點處的候選數必為真
類型1：連續兩個強鏈接
分析
環如：
假設A為假：
→ 通過環傳遞 → A為真（矛盾！）
假設A為真：
→ 最後一個強鏈接的另一端（設為X）可真可假 → 無矛盾
但是，如果我們從X「為假」開始跟蹤：
X假 → A真（強鏈接） → ... → X真
這意味著X不能為假，所以X為真，因此A為假。
結論：不連續點A必為假。
A ═ B - C ═ D - ... ═ A（回到起點時是強鏈接）假設A為假：
→ 通過環傳遞 → A為真（矛盾！）
假設A為真：
→ 最後一個強鏈接的另一端（設為X）可真可假 → 無矛盾
但是，如果我們從X「為假」開始跟蹤：
X假 → A真（強鏈接） → ... → X真
這意味著X不能為假，所以X為真，因此A為假。
結論：不連續點A必為假。
類型2：連續兩個弱鏈接
分析
環如：
假設A為真：
→ 通過環傳遞 → A為假（矛盾！）
結論：不連續點A必為假...等等，好像不對？
實際上我們需要更仔細地分析類型2。正確的結論是：
如果從A「為真」開始跟蹤，最終回到A需要A為假，產生矛盾。
結論：不連續點A必為真。
A - B ═ C - D ═ ... - A（回到起點時是弱鏈接）假設A為真：
→ 通過環傳遞 → A為假（矛盾！）
結論：不連續點A必為假...等等，好像不對？
實際上我們需要更仔細地分析類型2。正確的結論是：
如果從A「為真」開始跟蹤，最終回到A需要A為假，產生矛盾。
結論：不連續點A必為真。
常見技巧的鏈式解讀
許多看似不同的數獨技巧，都可以用鏈式推理的框架來統一理解。
| 技巧名稱 | 鏈式描述 | 鏈的特點 |
|---|---|---|
| X-Wing | 4節點單數鏈環 | 2行2列的共軛對組成矩形 |
| Skyscraper | 4節點單數開鏈 | 兩個共軛對共用一端 |
| 2-String Kite | 4節點單數開鏈 | 行列共軛對通過宮連接 |
| XY-Wing | 3節點雙值鏈 | 軸心連接兩翼 |
| XY-Chain | 多節點雙值鏈 | 純雙值格鏈 |
| Remote Pairs | 偶數節點雙值鏈 | 候選相同的雙值格鏈 |
| W-Wing | 混合鏈 | 雙值格通過共軛對連接 |
| AIC | 通用混合鏈 | 任意組合的交替鏈 |
鏈式技巧的選擇策略
在實際解題中，如何選擇合適的鏈式技巧？以下是一些建議：
1
先簡後繁：
從共軛對推理、Skyscraper等簡單技巧開始，再嘗試更複雜的AIC。
從共軛對推理、Skyscraper等簡單技巧開始，再嘗試更複雜的AIC。
2
關注雙值格：
雙值格是構建鏈的優質材料。當雙值格較多時，優先考慮XY-Wing和XY-Chain。
雙值格是構建鏈的優質材料。當雙值格較多時，優先考慮XY-Wing和XY-Chain。
3
尋找共軛對：
對於難以排除的某個數字，檢查它在各單元內是否形成共軛對，可能找到單數鏈。
對於難以排除的某個數字，檢查它在各單元內是否形成共軛對，可能找到單數鏈。
4
目標導向：
如果想排除某個特定候選，嘗試構建兩端都能「看到」該候選的鏈。
如果想排除某個特定候選，嘗試構建兩端都能「看到」該候選的鏈。
鏈式推理的價值
學習鏈式推理理論的價值不僅在於能使用更高級的技巧，更在於：
鏈式思維的好處：
- 統一理解：用一個框架理解眾多具體技巧
- 靈活應用：不受固定模式限制，根據局面靈活構建
- 發現新鏈：依賴記憶特定模式，而是在理解原理後自行發現
- 深入理解數獨：從邏輯本質上理解候選數之間的關係
總結
通過這三篇文章，我們系統地學習了鏈式推理的理論基礎：
- 第一篇：強弱鏈接的定義、來源和性質
- 第二篇：鏈的構建規則、傳遞邏輯和著色思想
- 第三篇：鏈的分類、應用模式和常見技巧的統一理解
掌握這些理論後，你已經具備了理解和發現各種鏈式技巧的能力。在實踐中不斷應用和鞏固，鏈式推理將成為你解決複雜數獨的有力武器。